ТГиК-2019-Лекция-16.09.2019

Материал из Кафедра Прикладной Математики
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пропущенная часть

Бином Ньютона

Формула для двух элементов:

\( (a+b)^n=(a+b)*(a+b)*...*(a+b)=\sum^{n}_{k=0} {C^k_n*a^k*b^{n-k}}\)

Формула для n элементов\[ (a_1+a_2+...+a_n)^n = \sum {P^{i1,i2,...,in}_{n} {a^{i1}_1 a^{i2}_2 ... a^{im}_m} \]

Что такое \(P^{i1,...,im}_{n} \) и как его найти? Начнем со второго пункта. \(P^{i1,...,im}_{n} = C^{i1}_n * C^{i2}_{n-i1} * C^{i3}_{n-i1-i2} *...* C^{im}_{n-i1-...-im} = \frac{n!}{i1!*(n-i1)!} * \frac{(n-i1)!}{i2!*(n-i1-i2)!} * \frac{(n-i1-i2)!}{i3!*(n-i1-i2-i3)!} *...* \frac{(n-i1-...-i(m-1))!}{im!*0!} = \frac {n!}{i1!*i2!*...*im!} \)

Число \(P^{i1,...,im}_{n} \) называется числом перестановок с повторениями.

Свойства комбинаторных величин

1) \( C^k_n = C^{n-k}_n \)

Пояснение

\( C^k_n = \frac {n!}{k!*(n-k)!} \) \( C^{n-k}_n = \frac {n!}{(n-k)!*k!} \)

Следовательно, они равны

2) \( C^{k+1}_{n+1} = C^k_n +C^{k+1}_n \) Здесь нарисовать треугольник Паскаля + пояснение

3) \( C^{k+1}_{n+1} = \frac {(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!} = \frac {n!}{k!*(n-k)!} * \frac{n+1}{k+1} = \frac{n+1}{k+1} * C^k_n \)

Здесь часть кода

У пунктов дальше есть геометрический смысл

4) \((1+1)^n = 2^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n} 5) <math>(2+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * 2^k} \)

6) \( (1-1)^n = 0 = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * (-1)^k} \)

7)

8) О производных \((x+y)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k*y^{n-k}}\)

Пусть у=1. Тогда \((x+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k} = f(x) \frac {df(x)}{dx} = n(x+1)^{n-1} = \sum^{n}_{k=0} {k C^k_n x^{k-1}} \)