ТГиК-2019-Лекция-16.09.2019

Материал из Кафедра Прикладной Математики
Перейти к навигации Перейти к поиску

Биекция и её полезные свойства

В предыдущей лекции мы условились, что для конечного множества его мощность - это количество элементов в данном множестве. Расширим это определение.

Мощность множества - это класс эквивалентности по отношению существования биективного отображения.

Биекция и мощность множеств

Теорема. Если между множествами А и В можно построить биективное отображение, то их мощности равны и наоборот.

Доказательство

Доказательство проведём по индукции.

1) Рассмотрим случай пустого множества.

\( \left | \varnothing \right | = 0\)

Для пустого множества можно составить биекцию только с пустым множеством. Тогда \(0=0\), теорема выполняется

2) Пусть \(A=\left \{a \right \}\), \(B=\left \{b \right \}\)

Между множествами А и В можно установить биекцию \(\left \{a \right \} \longleftrightarrow \left \{b \right \}\)

По заданному \( \left |A \right | = \left |B \right | \), и мы смогли построить биекцию.

3) Предположение \( \left |A \right | = \left |B \right | \Longleftrightarrow \exists f:A \longleftrightarrow B \)

4) Пусть \( \exists C, D: \left | C \right | = n + 1; \) \(\exists f:C \longleftrightarrow D \)

5) Из биекции следует, что \( \forall c \in C\) \(\exists f(c) = d; \)

6) Тогда \( f: C \backslash \left \{c \right \} \longleftrightarrow D \backslash \left \{d \right \}\)

7) Так как мы исключили один элемент c, то \(\left |C \backslash \left \{c \right \} \right | = n\). Из биекции следует, что для D \(\left |D \backslash \left \{d \right \} \right | = n\)

8) "Вернём" элемент d и по правилу сложения получим, что \(\left |D \right | = n+1\)

Теорема доказана.

Биекция и эквивалентность множеств

\(A \sim B \Longleftrightarrow \exists f:A \longleftrightarrow B \)

Здесь пропущены рассуждения

Бином Ньютона

Формула для двух элементов:

\( (a+b)^n=(a+b)*(a+b)*...*(a+b)=\sum^{n}_{k=0} {C^k_n*a^k*b^{n-k}}\)

Формула для n элементов:

\( (a_{1} + a_{2} +...+ a_{n})^{n} = \sum {P^{i1,...,im}_{n}} {a^{i1}_1 a^{i2}_2 ... a^{im}_m} \)

Как найти \(P^{i1,...,im}_{n} \) ?

\(P^{i1,...,im}_{n} = C^{i1}_n * C^{i2}_{n-i1} * C^{i3}_{n-i1-i2} *...* C^{im}_{n-i1-...-im} = \frac{n!}{i1!*(n-i1)!} * \frac{(n-i1)!}{i2!*(n-i1-i2)!} * \frac{(n-i1-i2)!}{i3!*(n-i1-i2-i3)!} *...* \frac{(n-i1-...-i(m-1))!}{im!*0!} = \frac {n!}{i1!*i2!*...*im!} \)

Число \(P^{i1,...,im}_{n} \) называется числом перестановок с повторениями.

Свойства комбинаторных величин

1) \( C^k_n = C^{n-k}_n \)

\( C^k_n = \frac {n!}{k!*(n-k)!} \)

\( C^{n-k}_n = \frac {n!}{(n-k)!*k!} \)

Связь треугольника Паскаля и свойства 2

Следовательно, они равны

2) \( C^{k+1}_{n+1} = C^k_n +C^{k+1}_n \)

Нужно выбрать k+1 элемент из множества n+1 элементов. Вариантов выбора два:

  1. Фиксируем \(a_1\). В множестве "свободных" элементов остается \(n\) штук. Так как один элемент уже зафиксирован, то остаётся выбрать ещё \(k\) элементов. Вариантов выбора \(C^k_n\)
  2. Рассмотрим выбор, когда нет \(a_1\). Нужно выбрать \(k+1\) элементов из \(n\) штук. Вариантов выбора \(C^{k+1}_n\)

3) \( C^{k+1}_{n+1} = \frac {(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!} = \frac {n!}{k!*(n-k)!} * \frac{n+1}{k+1} = \frac{n+1}{k+1} * C^k_n \)

Здесь часть кода

4) \((1+1)^n = 2^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n} \)

\(2^n\) - это количество подмножеств данного множества

5) \((2+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * 2^k} \)

\(3^n\) - это количество подмножеств произвольного подмножества данного множества

6) \( (1-1)^n = 0 = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * (-1)^k} \)

7) \(m^n = (1+1+...+1)^n = \sum_{i1+...+im=n} {P^{i1,...,im}_{n}}\)

8) О производных

\((x+y)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k*y^{n-k}}\)

Пусть у=1. Тогда \((x+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k} = f(x) \frac {df(x)}{dx} = n(x+1)^{n-1} = \sum^{n}_{k=0} {k C^k_n x^{k-1}} \)