ТГиК-2019-Лекция-16.09.2019: различия между версиями

Материал из Кафедра Прикладной Математики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 8: Строка 8:
 
Формула для n элементов:  
 
Формула для n элементов:  
  
<math> (a_{1} + a_{2} +...+ a_{n})^{n} = \sum {P^{i1,...,im}_{n}} {a^{i1}_1 a^{i2}_2 ... a^{im}_m}  </math>
+
<nowiki><math> (a_{1} + a_{2} +...+ a_{n})^{n} = \sum {P^{i1,...,im}_{n}} {a^{i1}_1 a^{i2}_2 ... a^{im}_m}  </math></nowiki>
  
Что такое <math>P^{i1,...,im}_{n} </math> и как его найти?  
+
Как найти <math>P^{i1,...,im}_{n} </math> ?  
 
 
Начнем со второго пункта.
 
  
 
<math>P^{i1,...,im}_{n} = C^{i1}_n *  C^{i2}_{n-i1} *  C^{i3}_{n-i1-i2} *...*  C^{im}_{n-i1-...-im} = \frac{n!}{i1!*(n-i1)!} * \frac{(n-i1)!}{i2!*(n-i1-i2)!} * \frac{(n-i1-i2)!}{i3!*(n-i1-i2-i3)!} *...* \frac{(n-i1-...-i(m-1))!}{im!*0!} = \frac {n!}{i1!*i2!*...*im!} </math>
 
<math>P^{i1,...,im}_{n} = C^{i1}_n *  C^{i2}_{n-i1} *  C^{i3}_{n-i1-i2} *...*  C^{im}_{n-i1-...-im} = \frac{n!}{i1!*(n-i1)!} * \frac{(n-i1)!}{i2!*(n-i1-i2)!} * \frac{(n-i1-i2)!}{i3!*(n-i1-i2-i3)!} *...* \frac{(n-i1-...-i(m-1))!}{im!*0!} = \frac {n!}{i1!*i2!*...*im!} </math>
  
Число <math>P^{i1,...,im}_{n} </math> называется числом перестановок с повторениями.
+
Число <math>P^{i1,...,im}_{n} </math> называется '''числом перестановок с повторениями.'''
  
 
==Свойства комбинаторных величин==
 
==Свойства комбинаторных величин==
 
1) <math> C^k_n = C^{n-k}_n </math>
 
1) <math> C^k_n = C^{n-k}_n </math>
 
Пояснение
 
  
 
<math> C^k_n = \frac {n!}{k!*(n-k)!} </math>
 
<math> C^k_n = \frac {n!}{k!*(n-k)!} </math>
 
<math> C^{n-k}_n = \frac {n!}{(n-k)!*k!} </math>
 
<math> C^{n-k}_n = \frac {n!}{(n-k)!*k!} </math>
 
+
[[Файл:Треугольник Паскаля.jpg|мини|''Связь треугольника Паскаля и свойства 2'']]
 
Следовательно, они равны
 
Следовательно, они равны
  
 
2) <math> C^{k+1}_{n+1} = C^k_n +C^{k+1}_n </math>
 
2) <math> C^{k+1}_{n+1} = C^k_n +C^{k+1}_n </math>
Здесь нарисовать треугольник Паскаля + пояснение
+
 
+
Нужно выбрать k+1 элемент из множества n+1 элементов. Вариантов выбора два:
 +
 
 +
# Фиксируем <math>a_1</math>. В множестве "свободных" элементов остается <math>n</math> штук. Так как один элемент уже зафиксирован, то остаётся выбрать ещё <math>k</math> элементов. Вариантов выбора <math>C^k_n</math>
 +
# Рассмотрим выбор, когда нет <math>a_1</math>. Нужно выбрать <math>k+1</math> элементов из <math>n</math> штук. Вариантов выбора <math>C^{k+1}_n</math>
 +
 
 
3) <math> C^{k+1}_{n+1} = \frac {(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!} = \frac {n!}{k!*(n-k)!} * \frac{n+1}{k+1} = \frac{n+1}{k+1} * C^k_n </math>  
 
3) <math> C^{k+1}_{n+1} = \frac {(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!} = \frac {n!}{k!*(n-k)!} * \frac{n+1}{k+1} = \frac{n+1}{k+1} * C^k_n </math>  
  
 
Здесь часть кода  
 
Здесь часть кода  
  
У пунктов дальше есть геометрический смысл
+
4) <math>(1+1)^n = 2^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n} 
  
4) <math>(1+1)^n = 2^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n}  
+
<math>2^n</math> - это количество подмножеств данного множества  
  
 
5) <math>(2+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * 2^k} </math>  
 
5) <math>(2+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * 2^k} </math>  
 +
 +
<math>3^n</math> - это количество подмножеств произвольного подмножества данного множества
  
 
6) <math> (1-1)^n = 0 = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * (-1)^k} </math>  
 
6) <math> (1-1)^n = 0 = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * (-1)^k} </math>  
  
7)
+
<nowiki>7) <math>m^n = (1+1+...+1)^n = \sum_{i1+...+im=n} {P^{i1,...,im}_{n}}</math>  </nowiki>
 +
 
 +
8) О производных
  
<nowiki>8) О производных
+
<nowiki><math>(x+y)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k*y^{n-k}}</math></nowiki>
<math>(x+y)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k*y^{n-k}}</math></nowiki>
 
  
 
<nowiki>Пусть у=1. Тогда <math>(x+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k} = f(x)  
 
<nowiki>Пусть у=1. Тогда <math>(x+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k} = f(x)  

Версия 19:46, 24 сентября 2019

Пропущенная часть

Бином Ньютона

Формула для двух элементов:

\( (a+b)^n=(a+b)*(a+b)*...*(a+b)=\sum^{n}_{k=0} {C^k_n*a^k*b^{n-k}}\)

Формула для n элементов:

\( (a_{1} + a_{2} +...+ a_{n})^{n} = \sum {P^{i1,...,im}_{n}} {a^{i1}_1 a^{i2}_2 ... a^{im}_m} \)

Как найти \(P^{i1,...,im}_{n} \) ?

\(P^{i1,...,im}_{n} = C^{i1}_n * C^{i2}_{n-i1} * C^{i3}_{n-i1-i2} *...* C^{im}_{n-i1-...-im} = \frac{n!}{i1!*(n-i1)!} * \frac{(n-i1)!}{i2!*(n-i1-i2)!} * \frac{(n-i1-i2)!}{i3!*(n-i1-i2-i3)!} *...* \frac{(n-i1-...-i(m-1))!}{im!*0!} = \frac {n!}{i1!*i2!*...*im!} \)

Число \(P^{i1,...,im}_{n} \) называется числом перестановок с повторениями.

Свойства комбинаторных величин

1) \( C^k_n = C^{n-k}_n \)

\( C^k_n = \frac {n!}{k!*(n-k)!} \) \( C^{n-k}_n = \frac {n!}{(n-k)!*k!} \)

Связь треугольника Паскаля и свойства 2

Следовательно, они равны

2) \( C^{k+1}_{n+1} = C^k_n +C^{k+1}_n \)

Нужно выбрать k+1 элемент из множества n+1 элементов. Вариантов выбора два:

  1. Фиксируем \(a_1\). В множестве "свободных" элементов остается \(n\) штук. Так как один элемент уже зафиксирован, то остаётся выбрать ещё \(k\) элементов. Вариантов выбора \(C^k_n\)
  2. Рассмотрим выбор, когда нет \(a_1\). Нужно выбрать \(k+1\) элементов из \(n\) штук. Вариантов выбора \(C^{k+1}_n\)

3) \( C^{k+1}_{n+1} = \frac {(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!} = \frac {n!}{k!*(n-k)!} * \frac{n+1}{k+1} = \frac{n+1}{k+1} * C^k_n \)

Здесь часть кода

4) \((1+1)^n = 2^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n} <math>2^n\) - это количество подмножеств данного множества

5) \((2+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * 2^k} \)

\(3^n\) - это количество подмножеств произвольного подмножества данного множества

6) \( (1-1)^n = 0 = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n * (-1)^k} \)

7) \(m^n = (1+1+...+1)^n = \sum_{i1+...+im=n} {P^{i1,...,im}_{n}}\)

8) О производных

\((x+y)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k*y^{n-k}}\)

Пусть у=1. Тогда \((x+1)^n = \sum^{n}_{k=0} {C^k_n x^k} = f(x) \frac {df(x)}{dx} = n(x+1)^{n-1} = \sum^{n}_{k=0} {k C^k_n x^{k-1}} \)