ТГиК-2019-Семинар-21.10.2019

Материал из Кафедра Прикладной Математики
Перейти к навигации Перейти к поиску

Числа Люка

Числа Люка задаются рекуррентной формулой:

$$L_n = L_n-1 + L_n-2$$

с начальными значениями $$L_0 = 2$$, $$L_1 = 1$$

Последовательность чисел Люка начинается так: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, …

Формула общего члена

Последовательность \(L_n\) можно выразить как функцию от n:

\[L_n = \varphi^n + (1-\varphi)^{n} = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\, ,\]

где \( \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) — золотое сечение.

Задачи на семинар и самостоятельную работу

1.Условие:

a0 = 0

a1 = 1

an+2 = 5an+1 - 6an

Решение:

q2 = 5q - 6

q2 - 5q + 6 = 0

q = 2

q = 3

$$a_n = \alpha * 2^n + \beta * 3^n$$

Решим систему:

$$\alpha + \beta = 0$$

$$2\alpha + 3\beta = 1$$

Получаем, что

$$\alpha = -1$$

$$\beta = 1$$

$$A_n = 3^n - 2^n$$

2.Условие:

a0 = 1

a1 = 1

an+2 = 3an+1 - 2an

Решение:

q2 - 3q + 2 = 0

q = 2

q = 1

$$A_n = 1$$

3.Условие:

a0 = 1

a1 = 1

an+2 = an+1 + an

Решение:

q2 - q - 1 = 0

An = Fn+1

4.Условие:

a0 = 1

a1 = 2

an+2 = 2an+1 - an

Решение:

q2 - 2q + 1 = 0

q = 1

$$A = \sum_{i=1}^k x_i^n P_{λ_i}(n)$$

5.Условие:

$$a_n = f(a_0, a_1, ..., a_n)$$

$$a_0 = 1$$

$$a_1 = 1$$

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$$

Решение:

q2 - q + 1 = 0

$$q_{1,2} = \frac{1±5^(\frac15)}{2}$$

6.Условие:

a0 = 0

a1 = 1

an+2 = 2an+1 + an

q2 - 2q - 1 = 0

$$q_1 = 1-2^(1/2)$$
$$q_2 = 1+2^(1/2)$$

$$A_n = \alpha (1-2^(\frac12))^n + \beta (1+2^(\frac12))^n$$

Получаем систему:

$$\alpha +\beta = 0$$

$$\alpha (1-2^(\frac12)) + \beta (1+2^(\frac12))= 1$$

В итоге:

$$\alpha = - \frac{1}{2*2^(\frac12)}$$

$$\beta = \frac{1}{2*2^(\frac12)}$$